对于▲ABC，有中线AD。

我们有$\boxed{b^2+c^2=\frac12a^2+2m^2}$。

证明：

令$n=\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac14[(2m)^2-a^2]=m^2-(\frac12a)^2$（极化恒等式）。

$(\vec{AB}+\vec{AC})^2=c^2+b^2+2n=b^2+c^2+2m^2-\frac12a^2$，

又$(\vec{AB}+\vec{AC})^2=(2m)^2$，

故整理可得命题正确。

下面所有斯图尔特定理参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/712159883 ：

在▲ABC 中，从任意顶点向对边引线段，以点 A 为例，向边 BC 引线段 AD ，交边 BC 于点 D ，设 $AD=d , BD=a_1 , CD=a_2$，则$ BC=a=a_1+a_2 $．过点 A 引边 BC 上的高线 AH ，垂足为点 H ，设 AH=h ．

如图所示，若垂足 H 在点 D 的左侧，设 DH=x ，则 $BH=a_1-x 或 BH=x-a_1$ ，即 $BH=\left| a_1-x \right| ， CH=a_2+x$ ．由勾股定理，得

$\left\{\begin{matrix} b^2= (a_2+x)^2+h^2= a^2_2+2a_2x+x^2+h^2\cdots\cdot① \\c^2= (a_1-x)^2+h^2= a^2_1-2a_1x+x^2+h^2\cdots\cdot② \\d^2= x^2+h^2\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots③ \end{matrix}\right.$

注意到 $a=a_1+a_2 ，令 ①\times a_1+②\times a_2-③\times a$ ，得

$a_1b^2+a_2c^2-ad^2=a_1a_2a $．

若垂足 H 在点 D 的右侧，用类似的方法亦可得上式（亦可用广勾股定理证明，参见《三角形中的线段关系》）．此即斯图尔特（Stewart）定理.

上式可改写为 $\boxed{d=\sqrt{\dfrac{a_1}{a}b^2+\dfrac{a_2}{a}c^2-a_1a_2}}$ ．

当线段 AD 为对边 BC 的中线时，$ a_1=a_2=\dfrac{1}{2}a ，设 AD=m_a $，则由斯图尔特定理，得

$\begin{align}m_a&=\sqrt{\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}c^2-\dfrac{1}{2}a\cdot\dfrac{1}{2}a}\\ &=\sqrt{\dfrac{1}{2}b^2+\dfrac{1}{2}c^2-\dfrac{1}{4}a^2}\\ &=\dfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} \end{align}$

此即中线长公式．

这也是中线长定理的另一种证明。

我们当然还可以考虑向量。

$\vec{AD}^2=(\frac12\vec{AP})^2=\frac14(\vec{AC}+\vec{AB})^2=\frac14(b^2+c^2+2bc\cos A)$。

即$m=\frac12\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos A}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$，同上。

[2026年5月4日更新] 还有一个比较常用的，由于$2m^2+\frac {a^2} 2=b^2+c^2$，

$m^2=\frac {b^2}2+\frac {c^2}2-\frac {a^2}4$

$=b^2+\frac{a^2}4-\frac{b^2+a^2-c^2}2=b^2+\frac{a^2}4-ab\cos C$

（或者$=c^2+\frac{a^2}4-\frac{c^2+a^2-b^2}2=c^2+\frac{a^2}4-ac\cos B$）

这样就可以把中线长转化为两边和其夹角的cos值的关系，好记且消元实用。

我们再来看看三角形的角平分线。对于▲ABC，有中线AD。

我们很容易得到交叉相乘相等（面积法）（也称射影定理）：$c \cdot a_2=b\cdot a_1$

同样的，我们可以用角平分线长公式来计算其长度。

$AD=\frac{2bc\cos\frac{∠BAC}2}{b+c}$（等面积法，两小三角形面积相加等于大三角形）

展开来讲，就是$c\cdot AD\sin\alpha+b\cdot AD\sin\alpha=b\cdot c\cdot \sin2\alpha \longrightarrow AD=\frac{b\cdot c \sin2\alpha}{(b+c)sin\alpha}$

$\stackrel{sin2\alpha=2sin\alpha\cos\alpha}{\longrightarrow}\boxed{AD=\frac{2bc\cos\frac{∠BAC}2}{b+c}}$

同上，我们还可以用斯图尔特定理：

当线段 AD 为 ∠BAC 的角平分线时，由三角形的角平分线定理，得$ \frac{b}{a_2} = \frac{c}{a_1} = \frac{b+c}{a} $

所以$ a_2 = \frac{ab}{b+c}, \quad a_1 = \frac{ac}{b+c} $

设AD=$t_a$，则由斯图尔特定理，得

$\begin{array}{l} t _ {a} = \sqrt {\frac {c}{b + c} b ^ {2} + \frac {b}{b + c} c ^ {2} - \frac {a c}{b + c} \frac {a b}{b + c}} \\ = \sqrt {\frac {b c [ (b + c) ^ {2} - a ^ {2} ]}{(b + c) ^ {2}}} \\ = \frac {1}{b + c} \sqrt {b c (a + b + c) (b + c - a)} \\ = \frac {2}{b + c} \sqrt {b c \frac {a + b + c}{2} \frac {b + c - a}{2}} \\ = \frac {2}{b + c} \sqrt {b c s (s - a)} \\ \end{array}$

此即角平分线长公式，其中$s=\frac{a+b+c}2$称为▲ABC的半周长．

我们看到这和上面的不大一样，但是我们可以转换。

在三角形 ABC 中有半角公式：

$\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}},\quad \sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$

这个公式可以从余弦定理和余弦的半角公式推导：

$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\quad \cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$

代入并化简即可得到$cos\frac{∠BAC}2=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$。它常用于三角形内切圆半径、面积（海伦公式）以及角平分线长度的计算（例如 $l_a = \frac{2bc}{b+c}\cos\frac{A}{2}$）。

然后即可轻松建立它们的联系。